Calcolo Esempi

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 3} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{t}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ per $t$ e per $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} t^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

$t^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Passaggio 4.2.2

Sposta $t^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Passaggio 4.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Passaggio 5.1.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{t^{2}}$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite.

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Passaggio 5.3.1

Calcola il limite di $\frac{1}{2}$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.2.2

Somma $0$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$