Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 x^{2}$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 (2 x)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Passaggio 1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36 x$ rispetto a $x$ è $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \cdot 1$

Passaggio 1.2.4.3

Moltiplica $36$ per $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $12$ da $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12$ da $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 96 x + 36 = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $12$ da $- 96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 36 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $12$ da $36$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 (3) = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi $12$ da $12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3) = 0$

Passaggio 2.2.5

Scomponi $12$ da $12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $3 x^{2} - 8 x + 3$ per $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{0}{12}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $12$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Passaggio 2.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 8$ e $c = 3$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.3

Sottrai $36$ da $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.3

Sottrai $36$ da $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 2.7.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.3

Sottrai $36$ da $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Passaggio 2.8.3

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 2.8.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 2.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2.21525043$ in $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.21525043$ nell'espressione.

$f (2.21525043) = 3 {(2.21525043)}^{4} - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Eleva $2.21525043$ alla potenza di $4$ .

$f (2.21525043) = 3 \cdot 24.08193188 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $24.08193188$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Eleva $2.21525043$ alla potenza di $3$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 \cdot 10.87097489 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $- 16$ per $10.87097489$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Eleva $2.21525043$ alla potenza di $2$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 \cdot 4.90733449$

Passaggio 3.1.2.1.6

Moltiplica $18$ per $4.90733449$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 88.33202097$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Sottrai $173.93559828$ da $72.24579564$ .

$f (2.21525043) = - 101.68980263 + 88.33202097$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $- 101.68980263$ e $88.33202097$ .

$f (2.21525043) = - 13.35778166$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $- 13.35778166$ .

$- 13.35778166$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $2.21525043$ in $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ è $(2.21525043, - 13.35778166)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2.21525043, - 13.35778166)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $0.45141622$ in $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.45141622$ nell'espressione.

$f (0.45141622) = 3 {(0.45141622)}^{4} - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $0.45141622$ alla potenza di $4$ .

$f (0.45141622) = 3 \cdot 0.0415249 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0.0415249$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $0.45141622$ alla potenza di $3$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 \cdot 0.09198807 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $- 16$ per $0.09198807$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Eleva $0.45141622$ alla potenza di $2$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 \cdot 0.20377661$

Passaggio 3.3.2.1.6

Moltiplica $18$ per $0.20377661$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 3.66797902$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Sottrai $1.47180912$ da $0.12457472$ .

$f (0.45141622) = - 1.34723439 + 3.66797902$

Passaggio 3.3.2.2.2

Somma $- 1.34723439$ e $3.66797902$ .

$f (0.45141622) = 2.32074462$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $2.32074462$ .

$2.32074462$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $0.45141622$ in $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ è $(0.45141622, 2.32074462)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0.45141622, 2.32074462)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(2.21525043, - 13.35778166), (0.45141622, 2.32074462)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0.45141622) \cup (0.45141622, 2.21525043) \cup (2.21525043, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0.45141622)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.35141622$ nell'espressione.

$f'' (0.35141622) = 36 {(0.35141622)}^{2} - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $0.35141622$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.35141622) = 36 \cdot 0.12349336 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0.12349336$ .

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 96$ per $0.35141622$ .

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 33.73595804 + 36$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $33.73595804$ da $4.44576119$ .

$f'' (0.35141622) = - 29.29019685 + 36$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 29.29019685$ e $36$ .

$f'' (0.35141622) = 6.70980314$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $6.70980314$ .

$6.70980314$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $0.35141622$ , la derivata seconda è $6.70980314$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 0.45141622)$ .

Crescente su $(- \infty, 0.45141622)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0.45141622, 2.21525043)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.\overline{3}$ nell'espressione.

$f'' (1.\overline{3}) = 36 {(1.\overline{3})}^{2} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $1.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $36$ per $1.\overline{7}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 96$ per $1.\overline{3}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 128 + 36$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $128$ da $64$ .

$f'' (1.\overline{3}) = - 64 + 36$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 64$ e $36$ .

$f'' (1.\overline{3}) = - 28$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 28$ .

$- 28$

Passaggio 6.3

Per $1.\overline{3}$ , la derivata seconda è $- 28$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0.45141622, 2.21525043)$ .

Decrescente su $(0.45141622, 2.21525043)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2.21525043, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.31525043$ nell'espressione.

$f'' (2.31525043) = 36 {(2.31525043)}^{2} - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2.31525043$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.31525043) = 36 \cdot 5.36038458 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $36$ per $5.36038458$ .

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 96$ per $2.31525043$ .

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 222.26404195 + 36$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $222.26404195$ da $192.9738451$ .

$f'' (2.31525043) = - 29.29019685 + 36$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 29.29019685$ e $36$ .

$f'' (2.31525043) = 6.70980314$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $6.70980314$ .

$6.70980314$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $2.31525043$ , la derivata seconda è $6.70980314$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(2.21525043, \infty)$ .

Crescente su $(2.21525043, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$ .

$(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$

Passaggio 9