Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (12 - 9 x^{2} + 2 x^{4})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.4

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 2 (4 x^{3}))$

Passaggio 2.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.9.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 8 x^{3})$

Passaggio 2.9.2

Riordina i fattori di $\frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}} (- 18 x + 8 x^{3})$ .

$(- 18 x + 8 x^{3}) \frac{1}{12 - 9 x^{2} + 2 x^{4}}$