Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} x^{5} e^{- x^{4}}$

Passaggio 1

Riscrivi $x^{5} e^{- x^{4}}$ come $\frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Passaggio 2.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Passaggio 2.1.3

Poiché l'esponente $x^{4}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x^{4}}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} (4 x^{3})}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Riordina i fattori di $e^{x^{4}} (4 x^{3})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

Passaggio 2.3.5.2

Riordina i fattori in $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $x^{3}$ da $5 x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

Passaggio 2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $4 x^{3} e^{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

Passaggio 2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{4 e^{x^{4}}}$

Passaggio 3

Sposta il termine $\frac{5}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Passaggio 4.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Passaggio 4.1.3

Poiché l'esponente $x^{4}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x^{4}}$ tende a $\infty$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \cdot 4 x^{3}}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Riordina i fattori di $e^{x^{4}} (4 x^{3})$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

Passaggio 4.3.5.2

Riordina i fattori in $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $\frac{1}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$ tende a $0$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica $\frac{5}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4 \cdot 4} \cdot 0$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{5}{16} \cdot 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\frac{5}{16}$ per $0$ .

$0$