Calcolo Esempi

${(\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}})}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ è $f' (g (n)) g' (n)$ dove $f (n) = n^{2}$ e $g (n) = \frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$2 \frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1

$2$ e $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$\frac{2 n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{n (n + 1)}{n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Passaggio 2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $n$ , la derivata di $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ rispetto a $n$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}]$ .

$\frac{n (n + 1)}{n^{4}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}])$

Passaggio 2.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{n (n + 1)}{n^{4}}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ è $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ dove $f (n) = n (n + 1)$ e $g (n) = n^{4}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{{(n^{4})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 4.1

Moltiplica gli esponenti in ${(n^{4})}^{2}$ .

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Passaggio 4.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{n^{4 \cdot 2}}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{n^{8}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è $n \cdot n^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) (4 n^{3})}{n^{8}}$

Passaggio 4.3

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1) n^{3}}{n^{8}}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $n^{3}$ da $n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1) n^{3}$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $n^{3}$ da $n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)]$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) - 4 n (n + 1) n^{3}}{n^{8}}$

Passaggio 4.3.2.2

Scomponi $n^{3}$ da $- 4 n (n + 1) n^{3}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) + n^{3} (- 4 n (n + 1))}{n^{8}}$

Passaggio 4.3.2.3

Scomponi $n^{3}$ da $n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) + n^{3} (- 4 n (n + 1))$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{8}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Scomponi $n^{3}$ da $n^{8}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{3} n^{5}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{3} n^{5}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1)}{n^{5}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ per $\frac{n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1)}{n^{5}}$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{4} n^{5}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $n^{4}$ per $n^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.1

Sposta $n^{5}$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 (n^{5} n^{4})}$

Passaggio 6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{5 + 4}}$

Passaggio 6.2.3

Somma $5$ e $4$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{9}}$