Calcolo Esempi

$\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$

Passaggio 1

Poiché $r$ è costante rispetto a $n$ , la derivata di $\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$ rispetto a $n$ è $r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$ .

$r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ è $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ dove $f (n) = n$ e $g (n) = 1 + (n - 1) r$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è $n \cdot n^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $1 + (n - 1) r$ per $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + (n - 1) r$ rispetto a $n$ è $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $n$ , la derivata di $1$ rispetto a $n$ è $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (0 + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [(n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Poiché $r$ è costante rispetto a $n$ , la derivata di $(n - 1) r$ rispetto a $n$ è $r \frac{d}{d n} [n - 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r \frac{d}{d n} [n - 1])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $n - 1$ rispetto a $n$ è $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è $n \cdot n^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (1 + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $n$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $n$ è $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r (1 + 0)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r \cdot 1}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 3.10.3

$r$ e $\frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$ .

$\frac{r (1 + (n - 1) r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{r (1 + n r - 1 r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.4.1

Combina i termini opposti in $r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Riordina i fattori nei termini di $r (n r)$ e $r (- n r)$ .

$\frac{r \cdot 1 + n r \cdot r + r (- 1 r) - n r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.2

Sottrai $n r \cdot r$ da $n r \cdot r$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r) + 0}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.3

Somma $r \cdot 1 + r (- 1 r)$ e $0$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica $r$ per $1$ .

$\frac{r + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{r - r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2.3

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.3.1

Sposta $r$ .

$\frac{r - (r \cdot r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2.3.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Riscrivi $- 1 r$ come $- r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - r)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Riordina i termini.

$\frac{- r^{2} + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Scomponi $r$ da $- r^{2} + r$ .

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Passaggio 4.7.1

Scomponi $r$ da $- r^{2}$ .

$\frac{r (- r) + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.7.2

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$\frac{r (- r) + r^{1}}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.7.3

Scomponi $r$ da $r^{1}$ .

$\frac{r (- r) + r \cdot 1}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.7.4

Scomponi $r$ da $r (- r) + r \cdot 1$ .

$\frac{r (- r + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Scomponi $- 1$ da $- r$ .

$\frac{r (- (r) + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{r (- (r) - 1 (- 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Scomponi $- 1$ da $- (r) - 1 (- 1)$ .

$\frac{r (- (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.11

Riscrivi $- (r - 1)$ come $- 1 (r - 1)$ .

$\frac{r (- 1 (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{r (r - 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$