Calcolo Esempi

$\frac{q \sin (q)}{q^{2} - 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ è $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ dove $f (q) = q \sin (q)$ e $g (q) = q^{2} - 1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) \frac{d}{d q} [q \sin (q)] - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ è $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ dove $f (q) = q$ e $g (q) = \sin (q)$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \frac{d}{d q} [\sin (q)] + \sin (q) \frac{d}{d q} [q]) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\sin (q)$ rispetto a $q$ è $\cos (q)$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q) \frac{d}{d q} [q]) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ è $n q^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q) \cdot 1) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\sin (q)$ per $1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) \frac{d}{d q} [q^{2} - 1]}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $q^{2} - 1$ rispetto a $q$ è $\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 1]$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 1])}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ è $n q^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q + \frac{d}{d q} [- 1])}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $q$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $q$ è $0$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q + 0)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Somma $2 q$ e $0$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - q \sin (q) (2 q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q \sin (q) q}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Eleva $q$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 (q^{1} q) \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Eleva $q$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 (q^{1} q^{1}) \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{1 + 1} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.1.1

Espandi $(q^{2} - 1) (q \cos (q) + \sin (q))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 9.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{q^{2} (q \cos (q) + \sin (q)) - 1 (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{q^{2} (q \cos (q)) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q) + \sin (q)) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{q^{2} (q \cos (q)) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $q^{2}$ per $q$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 9.1.2.1.1

Sposta $q$ .

$\frac{q \cdot q^{2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.2.1.2

Moltiplica $q$ per $q^{2}$ .

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Passaggio 9.1.2.1.2.1

Eleva $q$ alla potenza di $1$ .

$\frac{q^{1} q^{2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{q^{1 + 2} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.2.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - 1 (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.2.2

Riscrivi $- 1 (q \cos (q))$ come $- (q \cos (q))$ .

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - (q \cos (q)) - 1 \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.1.2.3

Riscrivi $- 1 \sin (q)$ come $- \sin (q)$ .

$\frac{q^{3} \cos (q) + q^{2} \sin (q) - q \cos (q) - \sin (q) - 2 q^{2} \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Sottrai $2 q^{2} \sin (q)$ da $q^{2} \sin (q)$ .

$\frac{q^{3} \cos (q) - q^{2} \sin (q) - q \cos (q) - \sin (q)}{{(q^{2} - 1)}^{2}}$