Calcolo Esempi

$\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$p$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4}{3} \cdot {(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.2

$\frac{p \cdot 4}{3}$ e ${(r + h)}^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4 {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.3

Sposta $4$ alla sinistra di $p$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot p {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.4

Poiché $\frac{4 p}{3}$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $\frac{4 p {(r + h)}^{3}}{3}$ rispetto a $r$ è $\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}]$ .

$\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = r^{3}$ e $g (r) = r + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{4 p}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $r + h$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h]$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.8

Poiché $h$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $h$ rispetto a $r$ è $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.9

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.11

$3$ e $\frac{4 p}{3}$ .

$\frac{3 (4 p)}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.12

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{12 p}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.13

$\frac{12 p}{3}$ e ${(r + h)}^{2}$ .

$\frac{12 p {(r + h)}^{2}}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.14

Elimina il fattore comune di $12$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Scomponi $3$ da $12 p {(r + h)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 p {(r + h)}^{2}}{1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 2.14.2.4

Dividi $4 p {(r + h)}^{2}$ per $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$p$ e $\frac{4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{p \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Passaggio 3.2

$r^{3}$ e $\frac{p \cdot 4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (p \cdot 4)}{3}]$

Passaggio 3.3

Sposta $4$ alla sinistra di $p$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (4 \cdot p)}{3}]$

Passaggio 3.4

Sposta $4$ alla sinistra di $r^{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4 \cdot r^{3} p}{3}]$

Passaggio 3.5

Poiché $- \frac{4 p}{3}$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- \frac{4 r^{3} p}{3}$ rispetto a $r$ è $- \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} (3 r^{2})$

Passaggio 3.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 3 \frac{4 p}{3} r^{2}$

Passaggio 3.8

$- 3$ e $\frac{4 p}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 3 (4 p)}{3} r^{2}$

Passaggio 3.9

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p}{3} r^{2}$

Passaggio 3.10

$\frac{- 12 p}{3}$ e $r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p r^{2}}{3}$

Passaggio 3.11

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Scomponi $3$ da $- 12 p r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3}$

Passaggio 3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 (1)}$

Passaggio 3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 \cdot 1}$

Passaggio 3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 4 p r^{2}}{1}$

Passaggio 3.11.2.4

Dividi $- 4 p r^{2}$ per $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 p r^{2}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 r^{2} p$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi ${(r + h)}^{2}$ come $(r + h) (r + h)$ .

$4 p ((r + h) (r + h)) - 4 r^{2} p$

Passaggio 4.2.2

Espandi $(r + h) (r + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 p (r (r + h) + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

Passaggio 4.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 p (r \cdot r + r h + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

Passaggio 4.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 p (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

Passaggio 4.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Moltiplica $r$ per $r$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $r h$ e $h r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Riordina $r$ e $h$ .

$4 p (r^{2} + h r + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Passaggio 4.2.3.2.2

Somma $h r$ e $h r$ .

$4 p (r^{2} + 2 h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Passaggio 4.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$4 p r^{2} + 4 p (2 h r) + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Passaggio 4.3

Combina i termini opposti in $4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$ .

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Passaggio 4.3.1

Riordina i fattori nei termini di $4 p r^{2}$ e $- 4 r^{2} p$ .

$4 r^{2} p + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $4 r^{2} p$ da $4 r^{2} p$ .

$8 p h r + 4 p h^{2} + 0$

Passaggio 4.3.3

Somma $8 p h r + 4 p h^{2}$ e $0$ .

$8 p h r + 4 p h^{2}$