Calcolo Esempi

$- \frac{A}{r^{2}} + \frac{B}{r^{3}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{A}{r^{2}} + \frac{B}{r^{3}}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [- \frac{A}{r^{2}}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$ .

$\frac{d}{d r} [- \frac{A}{r^{2}}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d r} [- \frac{A}{r^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- A$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- \frac{A}{r^{2}}$ rispetto a $r$ è $- A \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ .

$- A \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{r^{2}}$ come ${(r^{2})}^{- 1}$ .

$- A \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = r^{- 1}$ e $g (r) = r^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $r^{2}$ .

$- A (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{2}]) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- A (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{2}]) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $r^{2}$ .

$- A (- {(r^{2})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{2}]) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- A (- {(r^{2})}^{- 2} (2 r)) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- A (- r^{2 \cdot - 2} (2 r)) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- A (- r^{- 4} (2 r)) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- A (- 2 r^{- 4} r) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Passaggio 2.7

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$- A (- 2 (r^{1} r^{- 4})) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Passaggio 2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- A (- 2 r^{1 - 4}) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Passaggio 2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$- A (- 2 r^{- 3}) + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Passaggio 2.10

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 A r^{- 3} + \frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d r} [\frac{B}{r^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $B$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $\frac{B}{r^{3}}$ rispetto a $r$ è $B \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{3}}]$ .

$2 A r^{- 3} + B \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{3}}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{r^{3}}$ come ${(r^{3})}^{- 1}$ .

$2 A r^{- 3} + B \frac{d}{d r} [{(r^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = r^{- 1}$ e $g (r) = r^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $r^{3}$ .

$2 A r^{- 3} + B (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 A r^{- 3} + B (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $r^{3}$ .

$2 A r^{- 3} + B (- {(r^{3})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 A r^{- 3} + B (- {(r^{3})}^{- 2} (3 r^{2}))$

Passaggio 3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 A r^{- 3} + B (- r^{3 \cdot - 2} (3 r^{2}))$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$2 A r^{- 3} + B (- r^{- 6} (3 r^{2}))$

Passaggio 3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 A r^{- 3} + B (- 3 r^{- 6} r^{2})$

Passaggio 3.7

Moltiplica $r^{- 6}$ per $r^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sposta $r^{2}$ .

$2 A r^{- 3} + B (- 3 (r^{2} r^{- 6}))$

Passaggio 3.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 A r^{- 3} + B (- 3 r^{2 - 6})$

Passaggio 3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$2 A r^{- 3} + B (- 3 r^{- 4})$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 A \frac{1}{r^{3}} + B (- 3 r^{- 4})$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 A \frac{1}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

$2$ e $\frac{1}{r^{3}}$ .

$A \frac{2}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Passaggio 4.3.2

$A$ e $\frac{2}{r^{3}}$ .

$\frac{A \cdot 2}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Passaggio 4.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$\frac{2 \cdot A}{r^{3}} + B (- 3 \frac{1}{r^{4}})$

Passaggio 4.3.4

$- 3$ e $\frac{1}{r^{4}}$ .

$\frac{2 A}{r^{3}} + B \frac{- 3}{r^{4}}$

Passaggio 4.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 A}{r^{3}} + B (- \frac{3}{r^{4}})$

Passaggio 4.3.6

$B$ e $\frac{3}{r^{4}}$ .

$\frac{2 A}{r^{3}} - \frac{B \cdot 3}{r^{4}}$

Passaggio 4.3.7

Sposta $3$ alla sinistra di $B$ .

$\frac{2 A}{r^{3}} - \frac{3 B}{r^{4}}$