Calcolo Esempi

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d s} [f (s) g (s)]$ è $f (s) \frac{d}{d s} [g (s)] + g (s) \frac{d}{d s} [f (s)]$ dove $f (s) = s^{5} + 1$ e $g (s) = e^{- s^{5}}$ .

$(s^{5} + 1) \frac{d}{d s} [e^{- s^{5}}] + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ è $f' (g (s)) g' (s)$ dove $f (s) = e^{s}$ e $g (s) = - s^{5}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- s^{5}$ .

$(s^{5} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d s} [- s^{5}]) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(s^{5} + 1) (e^{u} \frac{d}{d s} [- s^{5}]) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- s^{5}$ .

$(s^{5} + 1) (e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [- s^{5}]) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $- s^{5}$ rispetto a $s$ è $- \frac{d}{d s} [s^{5}]$ .

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- \frac{d}{d s} [s^{5}]) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- (5 s^{4})) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} \frac{d}{d s} [s^{5} + 1]$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $s^{5} + 1$ rispetto a $s$ è $\frac{d}{d s} [s^{5}] + \frac{d}{d s} [1]$ .

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (\frac{d}{d s} [s^{5}] + \frac{d}{d s} [1])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4} + \frac{d}{d s} [1])$

Passaggio 3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $1$ rispetto a $s$ è $0$ .

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4} + 0)$

Passaggio 3.7

Somma $5 s^{4}$ e $0$ .

$(s^{5} + 1) e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(s^{5} e^{- s^{5}} + 1 e^{- s^{5}}) (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$s^{5} e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + 1 e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$s^{4 + 5} e^{- s^{5}} \cdot - 5 + 1 e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

Passaggio 4.3.2

Somma $4$ e $5$ .

$s^{9} e^{- s^{5}} \cdot - 5 + 1 e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

Passaggio 4.3.3

Sposta $- 5$ alla sinistra di $s^{9} e^{- s^{5}}$ .

$- 5 \cdot (s^{9} e^{- s^{5}}) + 1 e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $e^{- s^{5}}$ per $1$ .

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}} + e^{- s^{5}} (- 5 s^{4}) + e^{- s^{5}} (5 s^{4})$

Passaggio 4.3.5

Sposta $e^{- s^{5}}$ .

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}} - 5 s^{4} e^{- s^{5}} + 5 s^{4} e^{- s^{5}}$

Passaggio 4.3.6

Somma $- 5 s^{4} e^{- s^{5}}$ e $5 s^{4} e^{- s^{5}}$ .

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}} + 0$

Passaggio 4.3.7

Somma $- 5 s^{9} e^{- s^{5}}$ e $0$ .

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}}$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori di $- 5 s^{9} e^{- s^{5}}$ .

$- 5 e^{- s^{5}} s^{9}$

Passaggio 4.5

Riordina i fattori in $- 5 e^{- s^{5}} s^{9}$ .

$- 5 s^{9} e^{- s^{5}}$