Calcolo Esempi

$g (r) = (8 r^{3} + 7 r + 4) (r^{2} + 3)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ è $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ dove $f (r) = 8 r^{3} + 7 r + 4$ e $g (r) = r^{2} + 3$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) \frac{d}{d r} [r^{2} + 3] + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $r^{2} + 3$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [3]$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [3]) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r + \frac{d}{d r} [3]) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Passaggio 2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $3$ rispetto a $r$ è $0$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r + 0) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $2 r$ e $0$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $8 r^{3} + 7 r + 4$ .

$2 \cdot (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 r^{3} + 7 r + 4$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [8 r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4]$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (\frac{d}{d r} [8 r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Passaggio 2.6

Poiché $8$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $8 r^{3}$ rispetto a $r$ è $8 \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (8 \frac{d}{d r} [r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (8 (3 r^{2}) + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Passaggio 2.8

Moltiplica $3$ per $8$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Passaggio 2.9

Poiché $7$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $7 r$ rispetto a $r$ è $7 \frac{d}{d r} [r]$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [4])$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [4])$

Passaggio 2.11

Moltiplica $7$ per $1$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 + \frac{d}{d r} [4])$

Passaggio 2.12

Poiché $4$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $4$ rispetto a $r$ è $0$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 + 0)$

Passaggio 2.13

Somma $24 r^{2} + 7$ e $0$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1