Calcolo Esempi

$\frac{3 t - 1}{t^{2} + 5 t}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = 3 t - 1$ e $g (t) = t^{2} + 5 t$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) \frac{d}{d t} [3 t - 1] - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 t - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) (3 + 0) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t) \cdot 3 - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $t^{2} + 5 t$ .

$\frac{3 \cdot (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t]}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + 5 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t])}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5 \cdot 1)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) - (3 t - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + (- (3 t) - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- (3 t) - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- 3 t - - 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + (- 3 t + 1) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Espandi $(- 3 t + 1) (2 t + 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t + 5) + 1 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 t \cdot t - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.4.1.2.1

Sposta $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 (t \cdot t) - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4.1.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 3 \cdot 2 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4.1.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4.1.4

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4.1.5

Moltiplica $2 t$ per $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 2 t + 1 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4.1.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 15 t + 2 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4.2

Somma $- 15 t$ e $2 t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 6 t^{2} - 13 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $6 t^{2}$ da $3 t^{2}$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 15 t - 13 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $13 t$ da $15 t$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 2 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 3 \cdot 5 = - 15$ e la cui somma è $b = 2$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 t$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 2 (t) + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Riscrivi $2$ come $- 3$ più $5$ .

$\frac{- 3 t^{2} + (- 3 + 5) t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 3 t^{2} - 3 t + 5 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- 3 t^{2} - 3 t) + 5 t + 5}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{3 t (- t - 1) - 5 (- t - 1)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- t - 1$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t^{2} + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $t$ da $t^{2} + 5 t$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t \cdot t + 5 t)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2

Scomponi $t$ da $5 t$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t \cdot t + t \cdot 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.3

Scomponi $t$ da $t \cdot t + t \cdot 5$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{{(t (t + 5))}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Applica la regola del prodotto a $t (t + 5)$ .

$\frac{(- t - 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Scomponi $- 1$ da $- t$ .

$\frac{(- (t) - 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (t) - 1 (1)) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $- (t) - 1 (1)$ .

$\frac{- (t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Riscrivi $- (t + 1)$ come $- 1 (t + 1)$ .

$\frac{- 1 (t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(t + 1) (3 t - 5)}{t^{2} {(t + 5)}^{2}}$