Calcolo Esempi

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 1 - \cos (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)] - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 2

La derivata di $\sin (t)$ rispetto a $t$ è $\cos (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [- \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (- \frac{d}{d t} [\cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + 1 \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $\sin (t)$ per $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 4

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 5

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 6

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - {\sin (t)}^{1 + 1}}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $\cos (t)$ per $1$ .

$\frac{\cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $- \cos (t) \cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.1

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\cos (t) - {\cos (t)}^{1 + 1} - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (t) - \cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Scomponi $- 1$ da $- \cos^{2} (t)$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.2.3

Scomponi $- 1$ da $- \sin^{2} (t)$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.2.5

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{\cos (t) - (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.2.6

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\cos (t) - 1 \cdot 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune di $\cos (t) - 1$ e ${(1 - \cos (t))}^{2}$ .

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Passaggio 9.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $\cos (t)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.3.1.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t) + 1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.3.1.4

Riordina i termini.

$\frac{- 1 (1 - \cos (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.3.1.5

Scomponi $1 - \cos (t)$ da $- 1 (1 - \cos (t))$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Passaggio 9.3.1.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.3.1.6.1

Scomponi $1 - \cos (t)$ da ${(1 - \cos (t))}^{2}$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Passaggio 9.3.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Passaggio 9.3.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{1 - \cos (t)}$

Passaggio 9.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{1 - \cos (t)}$