Calcolo Esempi

$\frac{t^{2} + 1}{t^{4} - 3 t^{2} + 4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t^{2} + 1$ e $g (t) = t^{4} - 3 t^{2} + 4$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $2 t$ e $0$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t^{4} - 3 t^{2} + 4$ .

$\frac{2 \cdot (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{4} - 3 t^{2} + 4$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3 t^{2}$ rispetto a $t$ è $- 3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 3 (2 t) + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t + 0)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Somma $4 t^{3} - 6 t$ e $0$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 t^{4} + 2 (- 3 t^{2}) + 2 \cdot 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $t^{4}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Sposta $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{4}) + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Moltiplica $t$ per $t^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{4}) + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 t^{1 + 4} + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.2.1

Sposta $t$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 (t \cdot t^{2})) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.2.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 (t^{1} t^{2})) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{1 + 2}) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{3}) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + (- t^{2} - 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6

Espandi $(- t^{2} - 1) (4 t^{3} - 6 t)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3} - 6 t) - 1 (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.7.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{2} t^{3} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.7.1.2.1

Sposta $t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 (t^{3} t^{2}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{3 + 2} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7.1.2.3

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{5} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{2} t - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7.1.5

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.7.1.5.1

Sposta $t$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 (t \cdot t^{2}) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7.1.5.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.7.1.5.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 (t^{1} t^{2}) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{1 + 2} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{3} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7.1.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 4 t^{3} - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7.1.8

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7.2

Sottrai $4 t^{3}$ da $6 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 2 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $4 t^{5}$ da $2 t^{5}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + 2 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Somma $- 6 t^{3}$ e $2 t^{3}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 8 t + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Somma $8 t$ e $6 t$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Scomponi $2 t$ da $- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 14 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $2 t$ da $- 2 t^{5}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) - 4 t^{3} + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $2 t$ da $- 4 t^{3}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2}) + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $2 t$ da $14 t$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2}) + 2 t (7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4

Scomponi $2 t$ da $2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2})$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 2 t^{2}) + 2 t (7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.5.5

Scomponi $2 t$ da $2 t (- t^{4} - 2 t^{2}) + 2 t (7)$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 2 t^{2} + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Scomponi $- 1$ da $- t^{4}$ .

$\frac{2 t (- (t^{4}) - 2 t^{2} + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Scomponi $- 1$ da $- 2 t^{2}$ .

$\frac{2 t (- (t^{4}) - (2 t^{2}) + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $- (t^{4}) - (2 t^{2})$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2}) + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Riscrivi $7$ come $- 1 (- 7)$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2}) - 1 (- 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Scomponi $- 1$ da $- (t^{4} + 2 t^{2}) - 1 (- 7)$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2} - 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Riscrivi $- (t^{4} + 2 t^{2} - 7)$ come $- 1 (t^{4} + 2 t^{2} - 7)$ .

$\frac{2 t (- 1 (t^{4} + 2 t^{2} - 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 t) (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.13

Riordina i fattori in $- \frac{(2 t) (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2 t (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$