Calcolo Esempi

${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = 8 t - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $8 t - 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $8 t - 7$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 t - 7$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Passaggio 2.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8 t$ rispetto a $t$ è $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $t$ è $0$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $8$ per $1$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Passaggio 2.7

Somma $8$ e $0$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} \cdot 8 + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $8$ per $4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = 8 t + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $8 t + 7$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $8 t + 7$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 t + 7$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7]$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7])$

Passaggio 3.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8 t$ rispetto a $t$ è $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [7])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [7])$

Passaggio 3.5

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $7$ rispetto a $t$ è $0$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0)$

Passaggio 3.6

Moltiplica $8$ per $1$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 + 0)$

Passaggio 3.7

Somma $8$ e $0$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \cdot 8$

Passaggio 3.8

Moltiplica $8$ per $4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $32$ da $32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $32$ da $32 {(8 t - 7)}^{3}$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $32$ da $32 {(8 t + 7)}^{3}$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $32$ da $32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Usa il teorema binomiale.

$32 ({(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $8 t$ .

$32 (8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Passaggio 4.2.2.2

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$32 (512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Passaggio 4.2.2.3

Applica la regola del prodotto a $8 t$ .

$32 (512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Passaggio 4.2.2.4

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$32 (512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Passaggio 4.2.2.5

Moltiplica $64$ per $3$ .

$32 (512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Passaggio 4.2.2.6

Moltiplica $- 7$ per $192$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Passaggio 4.2.2.7

Moltiplica $8$ per $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Passaggio 4.2.2.8

Eleva $- 7$ alla potenza di $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Passaggio 4.2.2.9

Moltiplica $49$ per $24$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Passaggio 4.2.2.10

Eleva $- 7$ alla potenza di $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t + 7)}^{3})$

Passaggio 4.2.3

Usa il teorema binomiale.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Passaggio 4.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Applica la regola del prodotto a $8 t$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Passaggio 4.2.4.2

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Passaggio 4.2.4.3

Applica la regola del prodotto a $8 t$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Passaggio 4.2.4.4

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Passaggio 4.2.4.5

Moltiplica $64$ per $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Passaggio 4.2.4.6

Moltiplica $7$ per $192$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Passaggio 4.2.4.7

Moltiplica $8$ per $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Passaggio 4.2.4.8

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + 7^{3})$

Passaggio 4.2.4.9

Moltiplica $49$ per $24$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 7^{3})$

Passaggio 4.2.4.10

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343)$

Passaggio 4.3

Combina i termini opposti in $512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $- 1344 t^{2}$ e $1344 t^{2}$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 0 + 1176 t + 343)$

Passaggio 4.3.2

Somma $512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3}$ e $0$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1176 t + 343)$

Passaggio 4.3.3

Somma $- 343$ e $343$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t + 0)$

Passaggio 4.3.4

Somma $512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t$ e $0$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t)$

Passaggio 4.4

Somma $512 t^{3}$ e $512 t^{3}$ .

$32 (1024 t^{3} + 1176 t + 1176 t)$

Passaggio 4.5

Somma $1176 t$ e $1176 t$ .

$32 (1024 t^{3} + 2352 t)$

Passaggio 4.6

Applica la proprietà distributiva.

$32 (1024 t^{3}) + 32 (2352 t)$

Passaggio 4.7

Moltiplica $1024$ per $32$ .

$32768 t^{3} + 32 (2352 t)$

Passaggio 4.8

Moltiplica $2352$ per $32$ .

$32768 t^{3} + 75264 t$