Calcolo Esempi

$\frac{- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t}{{(1 - t)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = - 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t$ e $g (t) = {(1 - t)}^{2}$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t] - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{({(1 - t)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 - t)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t] - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t] - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- 2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (\frac{d}{d t} [- 2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2 t^{3}$ rispetto a $t$ è $- 2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + \frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t^{2}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 2.8

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 2.9

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 4 t$ rispetto a $t$ è $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4 \frac{d}{d t} [t]) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4 \cdot 1) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{2}]}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 1 - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - t$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (2 u \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - t$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (2 (1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Scomponi $1 - t$ da ${(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $1 - t$ da ${(1 - t)}^{2} (- 6 t^{2} + 10 t - 4)$ .

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $1 - t$ da $- 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) ((1 - t) \frac{d}{d t} [1 - t])$ .

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)) + (1 - t) (- 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $1 - t$ da $(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)) + (1 - t) (- 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))$ .

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{{(1 - t)}^{4}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Scomponi $1 - t$ da ${(1 - t)}^{4}$ .

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{(1 - t) {(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 - t) ((1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t]))}{(1 - t) {(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1 - t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 7

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (0 + \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 8

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [- t]}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) - 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) (- \frac{d}{d t} [t])}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 10

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t) \cdot 1}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3} + 5 t^{2} - 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4) + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.2.1.1

Espandi $(1 - t) (- 6 t^{2} + 10 t - 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{1 (- 6 t^{2}) + 1 (10 t) + 1 \cdot - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.2.1.2.1

Moltiplica $- 6 t^{2}$ per $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 1 (10 t) + 1 \cdot - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.2.2

Moltiplica $10 t$ per $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t + 1 \cdot - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.2.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - t (- 6 t^{2}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 t \cdot t^{2} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.2.5

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 13.2.1.2.5.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 (t^{2} t) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.2.5.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.2.5.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 (t^{2} t^{1}) - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 t^{2 + 1} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.2.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 - 1 \cdot - 6 t^{3} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - t (10 t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.2.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 1 \cdot 10 t \cdot t - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.2.8

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 13.2.1.2.8.1

Sposta $t$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 1 \cdot 10 (t \cdot t) - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.2.8.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 1 \cdot 10 t^{2} - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 10 t^{2} - t \cdot - 4 + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.2.10

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} - 10 t^{2} + 4 t + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.3

Sottrai $10 t^{2}$ da $- 6 t^{2}$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 10 t - 4 + 6 t^{3} + 4 t + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.4

Somma $10 t$ e $4 t$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} + 2 (- 2 t^{3}) + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.6

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 10 t^{2} + 2 (- 4 t)}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.1.7

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{- 16 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 10 t^{2} - 8 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.2

Somma $- 16 t^{2}$ e $10 t^{2}$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 14 t - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} - 8 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.3

Sottrai $8 t$ da $14 t$ .

$\frac{- 6 t^{2} - 4 + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 6 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.2.4

Sottrai $4 t^{3}$ da $6 t^{3}$ .

$\frac{- 6 t^{2} - 4 + 2 t^{3} + 6 t}{{(1 - t)}^{3}}$

Passaggio 13.3

Riordina i termini.

$\frac{2 t^{3} - 6 t^{2} + 6 t - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.4

Scomponi $2$ da $2 t^{3} - 6 t^{2} + 6 t - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Scomponi $2$ da $2 t^{3}$ .

$\frac{2 (t^{3}) - 6 t^{2} + 6 t - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.4.2

Scomponi $2$ da $- 6 t^{2}$ .

$\frac{2 (t^{3}) + 2 (- 3 t^{2}) + 6 t - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.4.3

Scomponi $2$ da $6 t$ .

$\frac{2 (t^{3}) + 2 (- 3 t^{2}) + 2 (3 t) - 4}{{(- t + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.4.4

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 (- 3 t^{2}) + 2 (3 t) + 2 \cdot - 2}{{(- t + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.4.5

Scomponi $2$ da $2 t^{3} + 2 (- 3 t^{2})$ .

$\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2}) + 2 (3 t) + 2 \cdot - 2}{{(- t + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.4.6

Scomponi $2$ da $2 (t^{3} - 3 t^{2}) + 2 (3 t)$ .

$\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t) + 2 \cdot - 2}{{(- t + 1)}^{3}}$

Passaggio 13.4.7

Scomponi $2$ da $2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t) + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 2)}{{(- t + 1)}^{3}}$