Calcolo Esempi

$\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{1}{4} t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Passaggio 2.3

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} t + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Passaggio 2.4

$\frac{2}{4}$ e $t$ .

$\frac{2 t}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scomponi $2$ da $2 t$ .

$\frac{2 (t)}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Passaggio 2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Passaggio 2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Passaggio 2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t}{2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \ln (t + 1)$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

$\frac{t}{2} - \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t + 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t + 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + 0))$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \cdot 1)$

Passaggio 3.7

Moltiplica $\frac{1}{t + 1}$ per $1$ .

$\frac{t}{2} - \frac{1}{t + 1}$

Passaggio 4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per scrivere $\frac{t}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1}$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- \frac{1}{t + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 (t + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $\frac{t}{2}$ per $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{1}{t + 1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{(t + 1) \cdot 2}$

Passaggio 4.3.3

Riordina i fattori di $(t + 1) \cdot 2$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{2 (t + 1)}$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{t (t + 1) - 2}{2 (t + 1)}$