Calcolo Esempi

$y = \sqrt{\ln (2 x)}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\ln (2 x)}$ come ${\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \ln (2 x)$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (2 x)$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Passaggio 4.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Passaggio 4.6.2

$\frac{1}{2}$ e ${\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Passaggio 4.6.3

Sposta ${\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 4.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.7.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.8

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 4.8.1

Moltiplica $\frac{1}{2 x}$ per $\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x (2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.8.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.8.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.8.4.1

$2$ e $\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.8.4.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.9

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.9.1

Scomponi $2$ da $4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 4.11

Moltiplica $\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{1}{2 x {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$