Calcolo Esempi

$\frac{2 x - 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $2 x - 1$ per $1$ .

$2 x - 1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 x - 1 = \frac{A {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$2 x - 1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Passaggio 1.6.2

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{3}$ e ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da $(B) {(x + 1)}^{3}$ .

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Passaggio 1.6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Passaggio 1.6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Passaggio 1.6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x - 1 = A + \frac{B (x + 1)}{1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Passaggio 1.6.2.2.4

Dividi $B (x + 1)$ per $1$ .

$2 x - 1 = A + B (x + 1) + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Passaggio 1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Passaggio 1.6.4

Moltiplica $B$ per $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Passaggio 1.6.5

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{3}$ e $x + 1$ .

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Passaggio 1.6.5.1

Scomponi $x + 1$ da $(C) {(x + 1)}^{3}$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Passaggio 1.6.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{C {(x + 1)}^{2}}{1}$

Passaggio 1.6.5.2.4

Dividi $C {(x + 1)}^{2}$ per $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.6.6

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C ((x + 1) (x + 1))$

Passaggio 1.6.7

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.6.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Passaggio 1.6.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Passaggio 1.6.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.6.8

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.6.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.8.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.6.8.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.6.8.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.6.8.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1)$

Passaggio 1.6.8.2

Somma $x$ e $x$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + 2 x + 1)$

Passaggio 1.6.9

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + C (2 x) + C \cdot 1$

Passaggio 1.6.10

Semplifica.

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Passaggio 1.6.10.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.6.10.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C$

Passaggio 1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta $B$ .

$2 x - 1 = A + B x + C x^{2} + 2 C x + B + C$

Passaggio 1.7.2

Sposta $A$ .

$2 x - 1 = B x + C x^{2} + 2 C x + A + B + C$

Passaggio 1.7.3

Riordina $B x$ e $C x^{2}$ .

$2 x - 1 = C x^{2} + B x + 2 C x + A + B + C$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = B + 2 C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = A + B + C$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $2 = B + 2 C$ con $0$ .

$2 = B + 2 (0)$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $B + 2 (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$2 = B + 0$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $B$ e $0$ .

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $- 1 = A + B + C$ con $0$ .

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

Passaggio 3.2.4

Semplifica $- 1 = A + B + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1.1

Rimuovi le parentesi.

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

Passaggio 3.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Somma $A + B$ e $0$ .

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'equazione come $B = 2$ .

$B = 2$

$- 1 = A + B$

$C = 0$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $- 1 = A + B$ con $2$ .

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $A$ in $- 1 = A + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $A + 2 = - 1$ .

$A + 2 = - 1$

$B = 2$

$C = 0$

Passaggio 3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - 1 - 2$

$B = 2$

$C = 0$

Passaggio 3.5.2.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

Passaggio 3.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = - 3 B = 2 C = 0$

Passaggio 3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - 3, B = 2, C = 0$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$