Calcolo Esempi

$z = e^{- (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $e^{- (x^{2} + y^{2})} = z$ .

$e^{- (x^{2} + y^{2})} = z$

Passaggio 2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- (x^{2} + y^{2})}) = \ln (z)$

Passaggio 3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Espandi $\ln (e^{- (x^{2} + y^{2})})$ spostando $- (x^{2} + y^{2})$ fuori dal logaritmo.

$- (x^{2} + y^{2}) \ln (e) = \ln (z)$

Passaggio 3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- (x^{2} + y^{2}) \cdot 1 = \ln (z)$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$(- x^{2} - y^{2}) \cdot 1 = \ln (z)$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- x^{2} - y^{2}$ per $1$ .

$- x^{2} - y^{2} = \ln (z)$

Passaggio 4

Somma $x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$

Passaggio 5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Passaggio 5.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (z)}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot \ln (z) + \frac{x^{2}}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (z)$ come $- \ln (z)$ .

$y^{2} = - \ln (z) + \frac{x^{2}}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - \ln (z) - 1 \cdot x^{2}$

Passaggio 5.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$y^{2} = - \ln (z) - x^{2}$

Passaggio 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Passaggio 7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 7.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Passaggio 7.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Passaggio 7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Passaggio 8

Imposta l'argomento in $\ln (z)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$z > 0$

Passaggio 9

Imposta il radicando in $\sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- \ln (z) - x^{2} \geq 0$

Passaggio 10

Aggiungi $x^{2}$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$- \ln (z) \geq x^{2}$

Passaggio 11

Il dominio è formato da tutti i valori di $z$ che rendono definita l'espressione.

$[N o (Max i m u m), \infty)$

Notazione intensiva:

${z | z \geq N o (Max i m u m)}$