Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{2 x} {(1 - 4 x)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x}$ come ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

Passaggio 1.2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Applica la regola del prodotto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

Passaggio 1.3

Poiché $2^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}$ rispetto a $x$ è $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 - 4 x)}^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = {(1 - 4 x)}^{3}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{3}] + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 1 - 4 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - 4 x$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 4 x$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 4 x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (3 {(1 - 4 x)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2} \cdot 1) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.7

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 10

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + {(1 - 4 x)}^{3} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 11

${(1 - 4 x)}^{3}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + \frac{{(1 - 4 x)}^{3} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 12

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 13

Per scrivere $x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 14

$x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2})$ e $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 12 {(1 - 4 x)}^{2}) (2 x^{\frac{1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 17.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{1 + 1}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17.2

Somma $1$ e $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{2}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 18.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{\frac{2}{2}}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 12 {(1 - 4 x)}^{2} (2 x^{1}) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x^{1} + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20

Semplifica.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21

$2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} (- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22

Sposta $2^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 23

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 23.1

Sposta $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.2

Moltiplica $2^{- \frac{1}{2}}$ per $2$ .

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Passaggio 23.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24

Semplifica.

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Passaggio 24.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 24.1.1

Scomponi ${(1 - 4 x)}^{2}$ da $- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x + {(1 - 4 x)}^{3}$ .

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Passaggio 24.1.1.1

Scomponi ${(1 - 4 x)}^{2}$ da $- 24 {(1 - 4 x)}^{2} x$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{3}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.1.1.2

Scomponi ${(1 - 4 x)}^{2}$ da ${(1 - 4 x)}^{3}$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{2} (1 - 4 x)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.1.1.3

Scomponi ${(1 - 4 x)}^{2}$ da ${(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x) + {(1 - 4 x)}^{2} (1 - 4 x)$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 24 x + 1 - 4 x)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.1.2

Sottrai $4 x$ da $- 24 x$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 28 x + 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2

Scomponi $- 1$ da $- 28 x$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x) + 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x) - 1 (- 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.4

Scomponi $- 1$ da $- (28 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- (28 x - 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.5

Riscrivi $- (28 x - 1)$ come $- 1 (28 x - 1)$ .

$\frac{{(1 - 4 x)}^{2} (- 1 (28 x - 1))}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{{(1 - 4 x)}^{2} (28 x - 1)}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$