Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{\sin (π (x - 1))} + \sqrt{4 - x^{2}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{\sin (π (x - 1))}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sin (π (x - 1)) \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$π (x - 1) \geq \arcsin (0)$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica $π (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$π x + π \cdot - 1 \geq \arcsin (0)$

Passaggio 2.2.1.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $π$ .

$π x - 1 \cdot π \geq \arcsin (0)$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $- 1 π$ come $- π$ .

$π x - π \geq \arcsin (0)$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$π x - π \geq 0$

Passaggio 2.4

Aggiungi $π$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$π x \geq π$

Passaggio 2.5

Dividi per $π$ ciascun termine in $π x \geq π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Dividi per $π$ ciascun termine in $π x \geq π$ .

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{π}{π}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x \geq \frac{π}{π}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x \geq 1$

Passaggio 2.6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$π x - π = π - 0$

Passaggio 2.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$π x - π = π$

Passaggio 2.7.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Somma $π$ a entrambi i lati dell'equazione.

$π x = π + π$

Passaggio 2.7.2.2

Somma $π$ e $π$ .

$π x = 2 π$

Passaggio 2.7.3

Dividi per $π$ ciascun termine in $π x = 2 π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Dividi per $π$ ciascun termine in $π x = 2 π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Passaggio 2.7.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.2.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Passaggio 2.7.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2 π}{π}$

Passaggio 2.7.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.3.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 π}{π}$

Passaggio 2.7.3.3.1.2

Dividi $2$ per $1$ .

$x = 2$

Passaggio 2.8

Trova il periodo di $\sin (π (x - 1))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci $b$ con $π$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| π |}$

Passaggio 2.8.3

$π$ corrisponde approssimativamente a $3.14159265$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{π}$

Passaggio 2.8.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{π}$

Passaggio 2.8.4.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.9

Il periodo della funzione $\sin (π (x - 1))$ è $2$ , quindi i valori si ripetono ogni $2$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1 + 2 n, 2 + 2 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.10

Consolida le risposte.

$x = 1 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.11

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$0 < x < 1$

$1 < x < 2$

Passaggio 2.12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 2.12.1

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 2.12.1.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (π ((0.5) - 1)) \geq 0$

Passaggio 2.12.1.3

Il lato sinistro di $- 1$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.12.2

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1.5$

Passaggio 2.12.2.2

Sostituisci $x$ con $1.5$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (π ((1.5) - 1)) \geq 0$

Passaggio 2.12.2.3

Il lato sinistro di $1$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.12.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Vero

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Vero

Passaggio 2.13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$1 + 2 n \leq x \leq 2 + 2 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Imposta il radicando in $\sqrt{4 - x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$4 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - 4$

Passaggio 4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 4$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Passaggio 4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Passaggio 4.4

Semplifica l'equazione.

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Passaggio 4.4.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.4.2.1

Semplifica $\sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 4.4.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq | 2 |$

Passaggio 4.4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$| x | \leq 2$

Passaggio 4.5

Scrivi $| x | \leq 2$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 4.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq 2$

Passaggio 4.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 4.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq 2$

Passaggio 4.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 4.6

Trova l'intersezione di $x \leq 2$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Passaggio 4.7

Risolvi $- x \leq 2$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 2$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Passaggio 4.7.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Passaggio 4.7.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Passaggio 4.7.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.3.1

Dividi $2$ per $- 1$ .

$x \geq - 2$

Passaggio 4.7.2

Trova l'intersezione di $x \geq - 2$ e $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Passaggio 4.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 2 \leq x \leq 2$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione intensiva:

${x | - 2 \leq x \leq 2, x = 1 + 2 n, x = 2 + 2 n}$

Passaggio 6