Calcolo Esempi

$y = \frac{3 \cos (x)}{5 x^{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 \cos (x)$ e $g (x) = 5 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{3} \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{5 x^{3} (3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{5 x^{3} (3 (- \sin (x))) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (5 (3 x^{2}))}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $5 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $15$ per $- 3$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 \cos (x) x^{2}}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Riordina i fattori in $- 15 x^{3} \sin (x) - 45 \cos (x) x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 {(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{6}}$

Passaggio 5.4

Scomponi $15 x^{2}$ da $- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $15 x^{2}$ da $- 15 x^{3} \sin (x)$ .

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x)) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{6}}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $15 x^{2}$ da $- 45 x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x)) + 15 x^{2} (- 3 \cos (x))}{25 x^{6}}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $15 x^{2}$ da $15 x^{2} (- x \sin (x)) + 15 x^{2} (- 3 \cos (x))$ .

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{25 x^{6}}$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di $15$ e $25$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $5$ da $15 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))$ .

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{25 x^{6}}$

Passaggio 5.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.5.2.1

Scomponi $5$ da $25 x^{6}$ .

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 (5 x^{6})}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 (5 x^{6})}$

Passaggio 5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{5 x^{6}}$

Passaggio 5.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{6}$ .

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Passaggio 5.6.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))$ .

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 x^{6}}$

Passaggio 5.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.6.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $5 x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{x^{2} (5 x^{4})}$

Passaggio 5.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{x^{2} (5 x^{4})}$

Passaggio 5.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$

Passaggio 5.7

Scomponi $- 1$ da $- x \sin (x)$ .

$\frac{3 (- (x \sin (x)) - 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$

Passaggio 5.8

Scomponi $- 1$ da $- 3 \cos (x)$ .

$\frac{3 (- (x \sin (x)) - (3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

Passaggio 5.9

Scomponi $- 1$ da $- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ .

$\frac{3 (- (x \sin (x) + 3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

Passaggio 5.10

Riscrivi $- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ come $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ .

$\frac{3 (- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

Passaggio 5.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$