Calcolo Esempi

$g (x) = \frac{8 x^{3} - 1}{2 x - 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 8 x^{3} - 1$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1] - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{3} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(2 x - 1) (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(2 x - 1) (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2} + 0) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Somma $24 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) + (- (8 x^{3}) - - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 \cdot 24 x \cdot x^{2} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.4.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 24 (x^{2} x) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 7.4.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cdot 24 (x^{2} x^{1}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \cdot 24 x^{2 + 1} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot 24 x^{3} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.3

Moltiplica $2$ per $24$ .

$\frac{48 x^{3} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4

Moltiplica $24$ per $- 1$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.5

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 8 x^{3} \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.6

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.7

Moltiplica $- - 1 \cdot 2$ .

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Passaggio 7.4.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} + 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4.2

Sottrai $16 x^{3}$ da $48 x^{3}$ .

$\frac{32 x^{3} - 24 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $32 x^{3} - 24 x^{2} + 2$ .

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Passaggio 7.5.1

Scomponi $2$ da $32 x^{3}$ .

$\frac{2 (16 x^{3}) - 24 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.2

Scomponi $2$ da $- 24 x^{2}$ .

$\frac{2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.3

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.4

Scomponi $2$ da $2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{2 (16 x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.5

Scomponi $2$ da $2 (16 x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (16 x^{3} - 12 x^{2} + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$