Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x - 1 \cdot 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $- 1 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - 1 - x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Combina i termini opposti in $x - 1 - x - 1$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$