Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x + 2}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3} + 3 x + 2$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x + 2] - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 + 0) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Somma $3 x^{2} + 3$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) + (- x^{3} - (3 x) - 1 \cdot 2) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.1

Espandi $(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + 3) - 1 (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.1.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 \cdot x^{2} - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} - 3 x^{2} - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} - 3 x^{2} - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Sottrai $3 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 0 - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.3

Somma $3 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{3} x - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 5.3.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{1 + 3} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4.3

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{4} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.1.6.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 (x \cdot x)) \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 x^{2}) \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.8

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.10

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $2 x^{4}$ da $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} - 3 - 6 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Riordina i termini.

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.5.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Passaggio 5.5.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$