Calcolo Esempi

$\frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 1}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 14$ e $g (x) = \sqrt[3]{14 x + 1}$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \frac{d}{d x} [14] - 1 \cdot 14 \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{14 x + 1}]}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{14 x + 1}]}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{14 x + 1}$ come ${(14 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 \frac{d}{d x} [{(14 x + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 14 x + 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $14 x + 1$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $14 x + 1$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{3}$ e ${(14 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{{(14 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 8.3

Sposta ${(14 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $14 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 10

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14 x$ rispetto a $x$ è $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 12

Moltiplica $14$ per $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (14 + \frac{d}{d x} [1]))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 13

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (14 + 0))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 14

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.1

Somma $14$ e $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 14)}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 14.2

$\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $14$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 \frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1.1.1

Moltiplica $\sqrt[3]{14 x + 1}$ per $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 14 \frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 15.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $14$ .

$\frac{0 - 14 \frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 15.1.1.3

Moltiplica $- 14 \frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

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Passaggio 15.1.1.3.1

$- 14$ e $\frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{0 + \frac{- 14 \cdot 14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 15.1.1.3.2

Moltiplica $- 14$ per $14$ .

$\frac{0 + \frac{- 196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 15.1.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{0 - \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 15.1.2

Sottrai $\frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ da $0$ .

$\frac{- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Passaggio 15.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 15.2.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}$ come $\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}}$

Passaggio 15.2.2

Riscrivi $\frac{- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}}$ come un prodotto.

$- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}}$

Passaggio 15.2.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}}$ per $\frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{196}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}} (3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 15.2.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}$ come ${(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{196}{3 ({(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 15.2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Passaggio 15.2.7

Somma $2$ e $2$ .

$- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$