Calcolo Esempi

$\frac{x^{6} + 8 y^{7}}{x^{7} + y^{8}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{6} + 8 y^{7}$ e $g (x) = x^{7} + y^{8}$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8 y^{7}] - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{6} + 8 y^{7}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $8 y^{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 y^{7}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5} + 0) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Somma $6 x^{5}$ e $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{7} + y^{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{8}])}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6} + \frac{d}{d x} [y^{8}])}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $y^{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{8}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6} + 0)}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Somma $7 x^{6}$ e $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) + (- x^{6} - (8 y^{7})) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 x^{7} x^{5} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $x^{7}$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.2.1

Sposta $x^{5}$ .

$\frac{6 (x^{5} x^{7}) + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 x^{5 + 7} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2.3

Somma $5$ e $7$ .

$\frac{6 x^{12} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{6} x^{6} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5

Moltiplica $x^{6}$ per $x^{6}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.5.1

Sposta $x^{6}$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 (x^{6} x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{6 + 6} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.3

Somma $6$ e $6$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{12} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 8 y^{7} (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 8 \cdot 7 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.9

Moltiplica $- 8$ per $7$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 56 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $7 x^{12}$ da $6 x^{12}$ .

$\frac{- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$\frac{- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Scomponi $x^{5}$ da $- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}$ .

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $x^{5}$ da $- x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Scomponi $x^{5}$ da $6 y^{8} x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8}) - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.6.3

Scomponi $x^{5}$ da $- 56 y^{7} x^{6}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.6.4

Scomponi $x^{5}$ da $x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8})$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.6.5

Scomponi $x^{5}$ da $x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8} - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.7

Scomponi $- 1$ da $- x^{7}$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7}) + 6 y^{8} - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $6 y^{8}$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7}) - (- 6 y^{8}) - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{7}) - (- 6 y^{8})$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8}) - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.10

Scomponi $- 1$ da $- 56 y^{7} x$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8}) - (56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.11

Scomponi $- 1$ da $- (x^{7} - 6 y^{8}) - (56 y^{7} x)$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.12

Riscrivi $- (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)$ come $- 1 (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)$ .

$\frac{x^{5} (- 1 (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{5} (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$