Calcolo Esempi

$\frac{2 x}{x + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [2 x] - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 \cdot 1) - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 2 - 1 \cdot 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 2 + 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 \cdot x + 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 x + 2 - 1 \cdot 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x + 2 - 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{2 x + 2 - 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Combina i termini opposti in $2 x + 2 - 2 x$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{0 + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$