Calcolo Esempi

$\frac{4 x}{x^{2} + 36}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 4 x$ e $g (x) = x^{2} + 36$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [4 x] - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (4 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (4 \cdot 1) - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 36$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot 4 + 36 \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} + 36 \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $36$ per $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.5

Moltiplica $- 1 \cdot 4 \cdot 2$ .

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Passaggio 3.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 4 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.5.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 144 - 8 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $8 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 144}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2} + 144$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 144}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Scomponi $4$ da $144$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Scomponi $4$ da $4 (- x^{2}) + 4 (36)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Riordina $- x^{2}$ e $6^{2}$ .

$\frac{4 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 6$ e $b = x$ .

$\frac{4 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$