Calcolo Esempi

$y = (5 x^{2} - 1) (4 x + 3)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 5 x^{2} - 1$ e $g (x) = 4 x + 3$ .

$(5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 3] + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Passaggio 4.2

Somma $4$ e $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 5

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + 0)$

Passaggio 6.2

Somma $10 x$ e $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Passaggio 7.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{2} - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$20 x^{2} - 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $10$ per $4$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x \cdot x + 3 (10 x)$

Passaggio 7.3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x) + 3 (10 x)$

Passaggio 7.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x^{1}) + 3 (10 x)$

Passaggio 7.3.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{1 + 1} + 3 (10 x)$

Passaggio 7.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 3 (10 x)$

Passaggio 7.3.8

Moltiplica $10$ per $3$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 30 x$

Passaggio 7.3.9

Somma $20 x^{2}$ e $40 x^{2}$ .

$60 x^{2} - 4 + 30 x$

Passaggio 7.4

Riordina i termini.

$60 x^{2} + 30 x - 4$