Calcolo Esempi

$y = - x^{3} (3 x^{4} - 2)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - x^{3}$ e $g (x) = 3 x^{4} - 2$ .

$- x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2] + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- x^{3} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$- x^{3} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- x^{3} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 4.2

Somma $12 x^{3}$ e $0$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 4.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- (3 x^{2}))$

Passaggio 4.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- 3 x^{2})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{3} (12 x^{3}) + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$- 12 x^{3} x^{3} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$- 12 (x^{3} x^{3}) + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Passaggio 5.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 12 x^{3 + 3} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Passaggio 5.2.2.3

Somma $3$ e $3$ .

$- 12 x^{6} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{4} x^{2} - 2 (- 3 x^{2})$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 12 x^{6} - 9 (x^{2} x^{4}) - 2 (- 3 x^{2})$

Passaggio 5.2.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 12 x^{6} - 9 x^{2 + 4} - 2 (- 3 x^{2})$

Passaggio 5.2.4.3

Somma $2$ e $4$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} - 2 (- 3 x^{2})$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} + 6 x^{2}$

Passaggio 5.2.6

Sottrai $9 x^{6}$ da $- 12 x^{6}$ .

$- 21 x^{6} + 6 x^{2}$