Calcolo Esempi

$y = \frac{a}{2} \cdot (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \frac{a}{2}$ e $g (x) = e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}$ .

$\frac{a}{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}] + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]$ .

$\frac{a}{2} (\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{a}}]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{x}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{a}{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{a}$ .

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{1}{a}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{a}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} (\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{1}{a}$ per $1$ .

$\frac{a}{2} (e^{\frac{x}{a}} \frac{1}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 3.5

$e^{\frac{x}{a}}$ e $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{- x}{a}}]$ .

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{d}{d x} [- e^{- \frac{x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 4.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- \frac{x}{a}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{a}}]$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{a}}]) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x}{a}$ .

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Passaggio 4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- \frac{x}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- \frac{x}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{a}])) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 4.4

Poiché $- \frac{1}{a}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{a}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a} \cdot 1))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - (e^{- \frac{x}{a}} (- \frac{1}{a}))) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 4.7

$e^{- \frac{x}{a}}$ e $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} - - \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 4.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + 1 \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 4.9

Moltiplica $\frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}$ per $1$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \frac{d}{d x} [\frac{a}{2}]$

Passaggio 5

Poiché $\frac{a}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{a}{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{a}{2} (\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}) + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \cdot 0$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a}{2} \cdot \frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{- x}{a}}) \cdot 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a}{2} \cdot \frac{e^{\frac{x}{a}}}{a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Passaggio 6.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{a}{2}$ per $\frac{e^{\frac{x}{a}}}{a}$ .

$\frac{a e^{\frac{x}{a}}}{2 a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.2

Elimina il fattore comune di $a$ .

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Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a e^{\frac{x}{a}}}{2 a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a}{2} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $\frac{a}{2}$ per $\frac{e^{- \frac{x}{a}}}{a}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a e^{- \frac{x}{a}}}{2 a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.4

Elimina il fattore comune di $a$ .

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Passaggio 6.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{a e^{- \frac{x}{a}}}{2 a} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + e^{\frac{x}{a}} \cdot 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $e^{\frac{x}{a}}$ per $0$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 - e^{\frac{- x}{a}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 - e^{- \frac{x}{a}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.7

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 + 0 e^{- \frac{x}{a}}$

Passaggio 6.3.8

Moltiplica $0$ per $e^{- \frac{x}{a}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0 + 0$

Passaggio 6.3.9

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2} + 0$

Passaggio 6.3.10

Somma $\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2}$ e $0$ .

$\frac{e^{\frac{x}{a}}}{2} + \frac{e^{- \frac{x}{a}}}{2}$