Calcolo Esempi

$y = {(5 x - 3)}^{4} {(6 x + 7)}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(5 x - 3)}^{4}$ e $g (x) = {(6 x + 7)}^{2}$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 7)}^{2}] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 2

Riscrivi ${(6 x + 7)}^{2}$ come $(6 x + 7) (6 x + 7)$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [(6 x + 7) (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 3

Espandi $(6 x + 7) (6 x + 7)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x + 7) + 7 (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.2.1

Sposta $x$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $6$ per $6$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $7$ per $6$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $6$ per $7$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 42 x + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $7$ per $7$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 42 x + 49] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 4.2

Somma $42 x$ e $42 x$ .

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 84 x + 49] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $36 x^{2} + 84 x + 49$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

${(5 x - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 5.2

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(5 x - 3)}^{4} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

${(5 x - 3)}^{4} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 5.4

Moltiplica $2$ per $36$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 5.5

Poiché $84$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $84 x$ rispetto a $x$ è $84 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 5.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 5.7

Moltiplica $84$ per $1$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 5.8

Poiché $49$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $49$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 + 0) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 5.9

Somma $72 x + 84$ e $0$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 5 x - 3$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x - 3$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x - 3$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

Passaggio 7

Differenzia.

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Passaggio 7.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Passaggio 7.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Passaggio 7.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Passaggio 7.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Passaggio 7.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 + 0))$

Passaggio 7.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.6.1

Somma $5$ e $0$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} \cdot 5)$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (20 {(5 x - 3)}^{3})$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Sposta $20$ alla sinistra di ${(6 x + 7)}^{2}$ .

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + 20 \cdot {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$

Passaggio 8.2

Scomponi ${(5 x - 3)}^{3}$ da ${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + 20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$ .

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Passaggio 8.2.1

Scomponi ${(5 x - 3)}^{3}$ da ${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84)$ .

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + 20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$

Passaggio 8.2.2

Scomponi ${(5 x - 3)}^{3}$ da $20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$ .

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + {(5 x - 3)}^{3} (20 {(6 x + 7)}^{2})$

Passaggio 8.2.3

Scomponi ${(5 x - 3)}^{3}$ da ${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + {(5 x - 3)}^{3} (20 {(6 x + 7)}^{2})$ .

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84) + 20 {(6 x + 7)}^{2})$