Calcolo Esempi

$\frac{18 t}{t^{2} + 81}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = 18 t$ e $g (t) = t^{2} + 81$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \frac{d}{d t} [18 t] - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $18 t$ rispetto a $t$ è $18 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \frac{d}{d t} [t]) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \cdot 1) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $18$ per $1$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + 81$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81]$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $81$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $81$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $2 t$ e $0$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{2} \cdot 18 + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Sposta $18$ alla sinistra di $t^{2}$ .

$\frac{18 \cdot t^{2} + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $81$ per $18$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.4.1

Sposta $t$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 (t \cdot t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.5

Moltiplica $- 1 \cdot 18 \cdot 2$ .

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Passaggio 3.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.5.2

Moltiplica $- 18$ per $2$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 36 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $36 t^{2}$ da $18 t^{2}$ .

$\frac{- 18 t^{2} + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $18$ da $- 18 t^{2} + 1458$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $18$ da $- 18 t^{2}$ .

$\frac{18 (- t^{2}) + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Scomponi $18$ da $1458$ .

$\frac{18 (- t^{2}) + 18 (81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Scomponi $18$ da $18 (- t^{2}) + 18 (81)$ .

$\frac{18 (- t^{2} + 81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$\frac{18 (- t^{2} + 9^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Riordina $- t^{2}$ e $9^{2}$ .

$\frac{18 (9^{2} - t^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 9$ e $b = t$ .

$\frac{18 (9 + t) (9 - t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$