Calcolo Esempi

$\frac{\frac{1}{3} x^{3}}{3 x^{2} - 2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \frac{1}{3} x^{3}$ e $g (x) = 3 x^{2} - 2$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{1}{3} (3 x^{2})) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.3.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{3}{3} x^{2}) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{3 x^{2}}{3} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{3 x^{2}}{3} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x + 0)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Somma $6 x$ e $0$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{2 + 2} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{3} x}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 (x \cdot x^{3})}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 5.2.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 (x^{1} x^{3})}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{1 + 3}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3.3

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot 6 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.4.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2)) x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2) x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - 2 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $2 x^{4}$ da $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{2}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - 2 x^{2}$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 2 x^{2}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 2}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 2$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 2)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$