Calcolo Esempi

$f (x) = (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (y + 8 y^{3})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}$ e $g (x) = y + 8 y^{3}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \frac{d}{d x} [y + 8 y^{3}] + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 8 y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Passaggio 2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (0 + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Passaggio 2.3

Poiché $8 y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 y^{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (0 + 0) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Passaggio 2.4

Somma $0$ e $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}])$

Passaggio 2.6

Poiché $\frac{1}{y^{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{y^{2}}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}])$

Passaggio 2.7

Poiché $- \frac{2}{y^{4}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{y^{4}}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (0 + 0)$

Passaggio 2.8

Somma $0$ e $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \cdot 0$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \cdot 0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \cdot 0$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y^{2}} \cdot 0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Passaggio 3.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $0$ .

$0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 + 0 \frac{2}{y^{4}} + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{y^{4}}$ .

$0 + 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Passaggio 3.3.4

Somma $0$ e $0$ .

$0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $y$ per $0$ .

$0 + 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $0$ per $8$ .

$0 + 0 + 0 y^{3}$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $0$ per $y^{3}$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 3.3.8

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 3.3.9

Somma $0$ e $0$ .

$0$