Calcolo Esempi

$f (x) = (4 x + 7) (x^{3} - 2)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 4 x + 7$ e $g (x) = x^{3} - 2$ .

$(4 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(4 x + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Passaggio 2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Passaggio 2.4

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 + 0)$

Passaggio 4.2

Somma $4$ e $0$ .

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \cdot 4$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x (3 x^{2}) + 7 (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \cdot 4$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x (3 x^{2}) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Passaggio 5.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x \cdot x^{2} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$12 (x^{2} x) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 (x^{2} x^{1}) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Passaggio 5.3.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x^{2 + 1} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Passaggio 5.3.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$12 x^{3} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $3$ per $7$ .

$12 x^{3} + 21 x^{2} + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

Passaggio 5.3.4

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$12 x^{3} + 21 x^{2} + 4 \cdot x^{3} - 2 \cdot 4$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$12 x^{3} + 21 x^{2} + 4 x^{3} - 8$

Passaggio 5.3.6

Somma $12 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$16 x^{3} + 21 x^{2} - 8$