Calcolo Esempi

$6 x^{4} + 16 x^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $6 x^{4} + 16 x^{3}$ come funzione.

$f (x) = 6 x^{4} + 16 x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{4} + 16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{4}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $4$ per $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$24 x^{3} + 16 (3 x^{2})$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 48 x^{2}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $24 x^{3} + 48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{3}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $3$ per $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$72 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$72 x^{2} + 48 (2 x)$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $48$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + 96 x$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $72 x^{2} + 96 x$ .

$72 x^{2} + 96 x$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $72 x^{2} + 96 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$72 x^{2} + 96 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $24 x$ da $72 x^{2} + 96 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $24 x$ da $72 x^{2}$ .

$24 x (3 x) + 96 x = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $24 x$ da $96 x$ .

$24 x (3 x) + 24 x (4) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $24 x$ da $24 x (3 x) + 24 x (4)$ .

$24 x (3 x + 4) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 4 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $3 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 4$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 3.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 3.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4}{3}$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $24 x (3 x + 4) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{4}{3}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = 6 x^{4} + 16 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 6 {(0)}^{4} + 16 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 6 \cdot 0 + 16 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 16 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 16 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $16$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = 6 x^{4} + 16 x^{3}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- \frac{4}{3}$ in $f (x) = 6 x^{4} + 16 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{4}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{4}{3}) = 6 {(- \frac{4}{3})}^{4} + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = 6 ({(- 1)}^{4} {(\frac{4}{3})}^{4}) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = 6 ({(- 1)}^{4} (\frac{4^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{4}{3}) = 6 (1 (\frac{4^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica $\frac{4^{4}}{3^{4}}$ per $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = 6 (\frac{4^{4}}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{4}{3}) = 6 (\frac{256}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{4}{3}) = 6 (\frac{256}{81}) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.6.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (- \frac{4}{3}) = 3 (2) (\frac{256}{81}) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.6.2

Scomponi $3$ da $81$ .

$f (- \frac{4}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{256}{3 \cdot 27})) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{4}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{256}{3 \cdot 27})) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{4}{3}) = 2 (\frac{256}{27}) + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.7

$2$ e $\frac{256}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{2 \cdot 256}{27} + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.8

Moltiplica $2$ per $256$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + 16 {(- \frac{4}{3})}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.9

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.9.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3})$

Passaggio 4.3.2.1.9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{3^{3}}))$

Passaggio 4.3.2.1.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + 16 (- \frac{4^{3}}{3^{3}})$

Passaggio 4.3.2.1.11

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + 16 (- \frac{64}{3^{3}})$

Passaggio 4.3.2.1.12

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + 16 (- \frac{64}{27})$

Passaggio 4.3.2.1.13

Moltiplica $16 (- \frac{64}{27})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.13.1

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} - 16 (\frac{64}{27})$

Passaggio 4.3.2.1.13.2

$- 16$ e $\frac{64}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 16 \cdot 64}{27}$

Passaggio 4.3.2.1.13.3

Moltiplica $- 16$ per $64$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 1024}{27}$

Passaggio 4.3.2.1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024}{27}$

Passaggio 4.3.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{512 - 1024}{27}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1

Sottrai $1024$ da $512$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 512}{27}$

Passaggio 4.3.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{512}{27}$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $- \frac{512}{27}$ .

$- \frac{512}{27}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- \frac{4}{3}$ in $f (x) = 6 x^{4} + 16 x^{3}$ è $(- \frac{4}{3}, - \frac{512}{27})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{4}{3}, - \frac{512}{27})$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (- \frac{4}{3}, - \frac{512}{27})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{4}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{4}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.4\overline{3}$ nell'espressione.

$f'' (- 1.4\overline{3}) = 72 {(- 1.4\overline{3})}^{2} + 96 (- 1.4\overline{3})$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.4\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.4\overline{3}) = 72 \cdot 2.05\overline{4} + 96 (- 1.4\overline{3})$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $72$ per $2.05\overline{4}$ .

$f'' (- 1.4\overline{3}) = 147.92 + 96 (- 1.4\overline{3})$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $96$ per $- 1.4\overline{3}$ .

$f'' (- 1.4\overline{3}) = 147.92 - 137.6$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $137.6$ da $147.92$ .

$f'' (- 1.4\overline{3}) = 10.32$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $10.32$ .

$10.32$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 1.4\overline{3}$ , la derivata seconda è $10.32$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - \frac{4}{3})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{4}{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{4}{3}, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.\overline{6}$ nell'espressione.

$f'' (- 0.\overline{6}) = 72 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 96 (- 0.\overline{6})$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 0.\overline{6}$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.\overline{6}) = 72 \cdot 0.\overline{4} + 96 (- 0.\overline{6})$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $72$ per $0.\overline{4}$ .

$f'' (- 0.\overline{6}) = 32 + 96 (- 0.\overline{6})$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $96$ per $- 0.\overline{6}$ .

$f'' (- 0.\overline{6}) = 32 - 64$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $64$ da $32$ .

$f'' (- 0.\overline{6}) = - 32$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 32$ .

$- 32$

Passaggio 7.3

Per $- 0.\overline{6}$ , la derivata seconda è $- 32$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \frac{4}{3}, 0)$ .

Decrescente su $(- \frac{4}{3}, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = 72 {(0.1)}^{2} + 96 (0.1)$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1) = 72 \cdot 0.01 + 96 (0.1)$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $72$ per $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.72 + 96 (0.1)$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $96$ per $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.72 + 9.6$

Passaggio 8.2.2

Somma $0.72$ e $9.6$ .

$f'' (0.1) = 10.32$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $10.32$ .

$10.32$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $10.32$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- \frac{4}{3}, - \frac{512}{27}), (0, 0)$ .

$(- \frac{4}{3}, - \frac{512}{27}), (0, 0)$

Passaggio 10