Calcolo Esempi

$\sqrt{x^{4} + y^{2}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{4} + y^{2}}$ come ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = x^{4} + y^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

Passaggio 7.3

Sposta ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{4} + y^{2}]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 9

Poiché $x^{4}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{4}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 10

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 y)$

Passaggio 12

Semplifica i termini.

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Passaggio 12.1

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y$

Passaggio 12.2

$\frac{2}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $y$ .

$\frac{2 y}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$