Calcolo Esempi

${(\frac{y + 2}{3 - y})}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = \frac{y + 2}{3 - y}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{y + 2}{3 - y}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{y + 2}{3 - y}$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = y + 2$ e $g (y) = 3 - y$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) \frac{d}{d y} [y + 2] - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (1 + \frac{d}{d y} [2]) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (1 + 0) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) \cdot 1 - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $3 - y$ per $1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y])}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (0 + \frac{d}{d y} [- y])}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) \frac{d}{d y} [- y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (- \frac{d}{d y} [y])}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Moltiplica.

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Passaggio 3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + 1 (y + 2) \frac{d}{d y} [y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica $y + 2$ per $1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + (y + 2) \frac{d}{d y} [y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + (y + 2) \cdot 1}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.11.1

Moltiplica $y + 2$ per $1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + y + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.11.2

Somma $- y$ e $y$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 + 0 + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.11.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.11.3.1

Somma $3$ e $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.2

Somma $3$ e $2$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{5}{{(3 - y)}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.3

Riordina i termini.

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{y + 2}{3 - y}$ .

$3 \frac{{(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}} \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$3$ e $\frac{{(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}}$ .

$\frac{3 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}} \cdot \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $\frac{3 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}}$ per $\frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$ .

$\frac{3 {(y + 2)}^{2} \cdot 5}{{(3 - y)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Riordina i termini.

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica ${(- y + 3)}^{2}$ per ${(- y + 3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.5.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{2 + 2}}$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{4}}$