Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (2 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

Passaggio 5

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 5.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Passaggio 9

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.1

Calcola $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

Passaggio 10.2

Calcola $\sin (u)$ per $π$ e per $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

$2$ e $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.2.2

Dividi $π$ per $1$ .

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (π)}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.3

$\frac{π}{2}$ e $\cos (π)$ .

$- \frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.4

Riscrivi $\frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2}$ come un prodotto.

$- (\frac{π \cos (π)}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.5

Moltiplica $\frac{π \cos (π)}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{2 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.7

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.8

Moltiplica $0$ per $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.9

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

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Passaggio 10.3.9.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.3.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.9.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.10

Somma $- \frac{π \cos (π)}{4}$ e $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Passaggio 10.3.11

Per scrivere $\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 10.3.12

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

Passaggio 10.3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

Passaggio 10.3.14

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Passaggio 10.3.15

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 10.3.15.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Passaggio 10.3.15.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- π \cos (π) + 1 (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Passaggio 10.3.16

Moltiplica $\sin (π) - \sin (0)$ per $1$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - \sin (0)}{4}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - 0}{4}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) + 0}{4}$

Passaggio 11.3

Somma $- π \cos (π) + \sin (π)$ e $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π)}{4}$

Passaggio 11.4

Scomponi $- 1$ da $- π \cos (π)$ .

$\frac{- (π \cos (π)) + \sin (π)}{4}$

Passaggio 11.5

Scomponi $- 1$ da $\sin (π)$ .

$\frac{- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))}{4}$

Passaggio 11.6

Scomponi $- 1$ da $- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))$ .

$\frac{- (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

Passaggio 11.7

Riscrivi $- (π \cos (π) - \sin (π))$ come $- 1 (π \cos (π) - \sin (π))$ .

$\frac{- 1 (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

Passaggio 11.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{π \cos (π) - \sin (π)}{4}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \frac{π (- \cos (0)) - \sin (π)}{4}$

Passaggio 12.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{π (- 1 \cdot 1) - \sin (π)}{4}$

Passaggio 12.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{π \cdot - 1 - \sin (π)}{4}$

Passaggio 12.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $π$ .

$- \frac{- 1 \cdot π - \sin (π)}{4}$

Passaggio 12.5

Riscrivi $- 1 π$ come $- π$ .

$- \frac{- π - \sin (π)}{4}$

Passaggio 12.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \frac{- π - \sin (0)}{4}$

Passaggio 12.7

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- \frac{- π - 0}{4}$

Passaggio 12.8

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{- π + 0}{4}$

Passaggio 12.9

Somma $- π$ e $0$ .

$- \frac{- π}{4}$

Passaggio 12.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{π}{4}$

Passaggio 12.11

Moltiplica $- - \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 12.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

Passaggio 12.11.2

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $1$ .

$\frac{π}{4}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{4}$

Forma decimale:

$0.78539816 \dots$