Calcolo Esempi

$y = \ln (\arctan (6 x^{5}))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \arctan (6 x^{5})$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\arctan (6 x^{5})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\arctan (6 x^{5})$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 6 x^{5}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $6 x^{5}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\arctan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $6 x^{5}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {(6 x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Scomponi $6$ da $6 x^{5}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {(6 (x^{5}))}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Passaggio 3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola del prodotto a $6 (x^{5})$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 6^{2} {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Passaggio 3.2.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Passaggio 3.2.3.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{10}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Passaggio 3.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{5}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{10}} (6 \frac{d}{d x} [x^{5}]))$

Passaggio 3.4

$6$ e $\frac{1}{1 + 36 x^{10}}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{6}{1 + 36 x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{6}{1 + 36 x^{10}} (5 x^{4}))$

Passaggio 3.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.6.1

$5$ e $\frac{6}{1 + 36 x^{10}}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{5 \cdot 6}{1 + 36 x^{10}} x^{4})$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $5$ per $6$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{30}{1 + 36 x^{10}} x^{4})$

Passaggio 3.6.3

$\frac{30}{1 + 36 x^{10}}$ e $x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \cdot \frac{30 x^{4}}{1 + 36 x^{10}}$

Passaggio 3.6.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \cdot \frac{30 x^{4}}{36 x^{10} + 1}$

Passaggio 3.6.5

Moltiplica $\frac{1}{\arctan (6 x^{5})}$ per $\frac{30 x^{4}}{36 x^{10} + 1}$ .

$\frac{30 x^{4}}{\arctan (6 x^{5}) (36 x^{10} + 1)}$