Calcolo Esempi

$y = \cos (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 - e^{8 x}$ e $g (x) = 1 + e^{8 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{8 x}] - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - e^{8 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{8 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{8 x}]) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{8 x}]) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- e^{8 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) \frac{d}{d x} [- e^{8 x}] - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{8 x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- \frac{d}{d x} [e^{8 x}]) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 8 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $8 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [8 x])) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [8 x])) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $8 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x])) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x} \cdot 1) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{8 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{8 x}])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 5.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{8 x}])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 5.7

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 8 x$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $8 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [8 x])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ è $a^{u_{3}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [8 x])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $8 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 7

Differenzia.

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Passaggio 7.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - 8 (1 - e^{8 x}) (e^{8 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 7.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - 8 (1 - e^{8 x}) (e^{8 x} \cdot 1)}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 7.4

Moltiplica $e^{8 x}$ per $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - 8 (1 - e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{1 (- 8 e^{8 x}) + e^{8 x} (- 8 e^{8 x}) - 8 (1 - e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{1 (- 8 e^{8 x}) + e^{8 x} (- 8 e^{8 x}) + (- 8 \cdot 1 - 8 (- e^{8 x})) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{1 (- 8 e^{8 x}) + e^{8 x} (- 8 e^{8 x}) - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.4.1.1

Moltiplica $- 8 e^{8 x}$ per $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} + e^{8 x} (- 8 e^{8 x}) - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{8 x} e^{8 x} - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.3

Moltiplica $e^{8 x}$ per $e^{8 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.1.3.1

Sposta $e^{8 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 (e^{8 x} e^{8 x}) - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{8 x + 8 x} - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.3.3

Somma $8 x$ e $8 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.5

Moltiplica $e^{8 x}$ per $e^{8 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.1.5.1

Sposta $e^{8 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} - 8 (- (e^{8 x} e^{8 x}))}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x + 8 x})}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.5.3

Somma $8 x$ e $8 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} - 8 (- e^{16 x})}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} + 8 e^{16 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.4.2

Combina i termini opposti in $- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} + 8 e^{16 x}$ .

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Passaggio 8.4.2.1

Somma $- 8 e^{16 x}$ e $8 e^{16 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} + 0 - 8 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.4.2.2

Somma $- 8 e^{8 x}$ e $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.4.3

Sottrai $8 e^{8 x}$ da $- 8 e^{8 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 8.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) (- \frac{16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}})$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 9.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $\sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}})$ per $1$ .

$\sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 9.1.3

$\sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}})$ e $\frac{16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) (16 e^{8 x})}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Passaggio 9.2

Riordina i termini.

$\frac{16 e^{8 x} \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}})}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$