Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (\ln (2 x + 1))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (2 x + 1)$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x + 1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x + 1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 + 0))$

Passaggio 3.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} \cdot 2)$

Passaggio 3.6.2

$\frac{1}{2 x + 1}$ e $2$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) \frac{2}{2 x + 1}$

Passaggio 3.6.3

$\frac{2}{2 x + 1}$ e $\sin (\ln (2 x + 1))$ .

$- \frac{2 \sin (\ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$