Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

Passaggio 1

Trova le intercette di x.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $y$ con $0$ e risolvi per $x$ .

$0 = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'equazione come $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

Passaggio 1.2.2.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

Passaggio 1.2.2.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$27 - 9 \cdot 9 + 24 \cdot 3 - 18$

Passaggio 1.2.2.3.4

Moltiplica $- 9$ per $9$ .

$27 - 81 + 24 \cdot 3 - 18$

Passaggio 1.2.2.3.5

Sottrai $81$ da $27$ .

$- 54 + 24 \cdot 3 - 18$

Passaggio 1.2.2.3.6

Moltiplica $24$ per $3$ .

$- 54 + 72 - 18$

Passaggio 1.2.2.3.7

Somma $- 54$ e $72$ .

$18 - 18$

Passaggio 1.2.2.3.8

Sottrai $18$ da $18$ .

$0$

Passaggio 1.2.2.4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18}{x - 3}$

Passaggio 1.2.2.5

Dividi $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ per $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$18$

Passaggio 1.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$

Passaggio 1.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Passaggio 1.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Passaggio 1.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Passaggio 1.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x^{2} + 18 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Passaggio 1.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$

Passaggio 1.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

Passaggio 1.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

Passaggio 1.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

Passaggio 1.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x - 18$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

Passaggio 1.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$
										$0$

Passaggio 1.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 6 x + 6$

Passaggio 1.2.2.6

Scrivi $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ come insieme di fattori.

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x^{2} - 6 x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x^{2} - 6 x + 6$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = 6$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.3

Sottrai $24$ da $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.3.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.3

Sottrai $24$ da $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.4.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.5.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 3 + \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.3

Sottrai $24$ da $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.5.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 3 - \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ vera.

$x = 3, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Passaggio 1.3

intercetta(e) di x in forma punto.

Intercetta(e) di x: $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

Passaggio 2

Trova le intercette di y.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $x$ con $0$ e risolvi per $y$ .

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Passaggio 2.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 24 (0) - 18$

Passaggio 2.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ${(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Passaggio 2.2.4.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0 + 24 (0) - 18$

Passaggio 2.2.4.1.3

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 24 (0) - 18$

Passaggio 2.2.4.1.4

Moltiplica $24$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 18$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 - 18$

Passaggio 2.2.4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 - 18$

Passaggio 2.2.4.2.3

Sottrai $18$ da $0$ .

$y = - 18$

Passaggio 2.3

intercetta(e) di y in forma punto.

Intercetta(e) di y: $(0, - 18)$

Passaggio 3

Elenca le intersezioni.

Intercetta(e) di x: $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

Intercetta(e) di y: $(0, - 18)$

Passaggio 4