Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$

Passaggio 1

Trova le intercette di x.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $y$ con $0$ e risolvi per $x$ .

$0 = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'equazione come $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36 = 0$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 1.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 36, \pm 9, \pm 18, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 12, \pm 6, \pm 4, \pm 2.25$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci $4.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $4.5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Sostituisci $4.5$ nel polinomio.

$4 \cdot {4.5}^{3} - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Passaggio 1.2.2.3.2

Eleva $4.5$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot 91.125 - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Passaggio 1.2.2.3.3

Moltiplica $4$ per $91.125$ .

$364.5 - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Passaggio 1.2.2.3.4

Eleva $4.5$ alla potenza di $2$ .

$364.5 - 24 \cdot 20.25 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Passaggio 1.2.2.3.5

Moltiplica $- 24$ per $20.25$ .

$364.5 - 486 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Passaggio 1.2.2.3.6

Sottrai $486$ da $364.5$ .

$- 121.5 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Passaggio 1.2.2.3.7

Moltiplica $35$ per $4.5$ .

$- 121.5 + 157.5 - 36$

Passaggio 1.2.2.3.8

Somma $- 121.5$ e $157.5$ .

$36 - 36$

Passaggio 1.2.2.3.9

Sottrai $36$ da $36$ .

$0$

Passaggio 1.2.2.4

Poiché $4.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 9$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36}{2 x - 9}$

Passaggio 1.2.2.5

Dividi $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ per $2 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$9$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$36$

Passaggio 1.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$

Passaggio 1.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			+	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{3} - 18 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$

Passaggio 1.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$

Passaggio 1.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Passaggio 1.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x^{2} + 27 x$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$

Passaggio 1.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$

Passaggio 1.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$

Passaggio 1.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $8 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$

Passaggio 1.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							+	$8 x$	-	$36$

Passaggio 1.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $8 x - 36$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							-	$8 x$	+	$36$

Passaggio 1.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							-	$8 x$	+	$36$
										$0$

Passaggio 1.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} - 3 x + 4$

Passaggio 1.2.2.6

Scrivi $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ come insieme di fattori.

$(2 x - 9) (2 x^{2} - 3 x + 4) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 9 = 0$

$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $2 x - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $2 x - 9$ uguale a $0$ .

$2 x - 9 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $2 x - 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 9$

Passaggio 1.2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 9$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{9}{2}$

Passaggio 1.2.5

Imposta $2 x^{2} - 3 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $2 x^{2} - 3 x + 4$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 3$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.3

Sottrai $32$ da $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 23$ come $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (23)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Passaggio 1.2.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.3

Sottrai $32$ da $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.4

Riscrivi $- 23$ come $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (23)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Passaggio 1.2.5.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}$

Passaggio 1.2.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.3

Sottrai $32$ da $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.4

Riscrivi $- 23$ come $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (23)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Passaggio 1.2.5.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Passaggio 1.2.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x - 9) (2 x^{2} - 3 x + 4) = 0$ vera.

$x = \frac{9}{2}, \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Passaggio 1.3

intercetta(e) di x in forma punto.

Intercetta(e) di x: $(\frac{9}{2}, 0)$

Passaggio 2

Trova le intercette di y.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $x$ con $0$ e risolvi per $y$ .

$y = 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Passaggio 2.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 24 \cdot 0^{2} + 35 (0) - 36$

Passaggio 2.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Passaggio 2.2.4

Semplifica $4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Passaggio 2.2.4.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$y = 0 - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Passaggio 2.2.4.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 - 24 \cdot 0 + 35 (0) - 36$

Passaggio 2.2.4.1.4

Moltiplica $- 24$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 35 (0) - 36$

Passaggio 2.2.4.1.5

Moltiplica $35$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 36$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 - 36$

Passaggio 2.2.4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 - 36$

Passaggio 2.2.4.2.3

Sottrai $36$ da $0$ .

$y = - 36$

Passaggio 2.3

intercetta(e) di y in forma punto.

Intercetta(e) di y: $(0, - 36)$

Passaggio 3

Elenca le intersezioni.

Intercetta(e) di x: $(\frac{9}{2}, 0)$

Intercetta(e) di y: $(0, - 36)$

Passaggio 4