Calcolo Esempi

$y = \frac{2 x + 5}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x + 5$ e $g (x) = \sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x} \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{\sqrt{x} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sqrt{x} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{x} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{x} (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\sqrt{x} (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 + (- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{x}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{x} - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Scomponi $2$ da $- (2 x)$ .

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3.2.2

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{x} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sqrt{x} - (x) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3.3

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3.4

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - (x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.5.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.5.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3.5.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3.5.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3.5.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3.7

$- 5$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 11.4

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 11.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

Passaggio 11.4.5

Semplifica.

$\frac{2 \sqrt{x} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Per scrivere $- x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6.2

$- x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.4.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.4.1.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6.4.1.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6.4.1.1.3

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1 (5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6.4.1.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1 (5)$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6.4.1.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.4.1.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- (2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6.4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6.4.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{\frac{2}{2}} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6.4.1.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{- (2 x^{1} + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6.4.1.3

Semplifica $2 x^{1}$ .

$\frac{\frac{- (2 x + 5)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 11.6.5

Per scrivere $2 \sqrt{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \sqrt{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.6.6

$2 \sqrt{x}$ e $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{2 x + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.6.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{- (2 x + 5) + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.6.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{- (2 x) - 1 \cdot 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.6.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 1 \cdot 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.6.8.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.6.8.4

Moltiplica $2 \sqrt{x} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.8.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 \sqrt{x} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.6.8.4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.6.8.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.6.8.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.6.8.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.6.8.4.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.8.4.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.6.8.4.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.6.8.5

Semplifica.

$\frac{\frac{- 2 x - 5 + 4 x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.6.8.6

Somma $- 2 x$ e $4 x$ .

$\frac{\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 11.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 11.8

Moltiplica $\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.1

Moltiplica $\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 11.8.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x - 5}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 11.8.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x - 5}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.8.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.8.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 11.8.6

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$