Calcolo Esempi

$y = u^{2} + 1$ , $u = 3 x - 2$

Passaggio 1

La regola della catena afferma che la derivata di $y$ rispetto a $x$ è uguale alla derivata di $y$ rispetto a $u$ per la derivata di $u$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Passaggio 2

Trova $\frac{d y}{d u}$ .

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $u^{2} + 1$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [1]$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $1$ rispetto a $u$ è $0$ .

$2 u + 0$

Passaggio 2.4

Somma $2 u$ e $0$ .

$2 u$

Passaggio 3

Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{d y}{d u}$ per $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (3) \cdot (2 u)$

Passaggio 5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 u$

Passaggio 6

Sostituisci il valore di $u$ nella derivata $6 u$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x - 2)$

Passaggio 7

Semplifica il risultato.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x) + 6 \cdot - 2$

Passaggio 7.2

Moltiplica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $3$ per $6$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x + 6 \cdot - 2$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x - 12$