Calcolo Esempi

$y = u^{\frac{3}{2}}$ , $u = 6 x + 5$

Passaggio 1

La regola della catena afferma che la derivata di $y$ rispetto a $x$ è uguale alla derivata di $y$ rispetto a $u$ per la derivata di $u$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Passaggio 2

Trova $\frac{d y}{d u}$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 2}{2}}$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.6

$\frac{3}{2}$ e $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3

Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $6$ e $0$ .

$6$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{d y}{d u}$ per $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 5

Semplifica il lato destro $(6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (3) \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot (3 u^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 u^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci il valore di $u$ nella derivata $9 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 {(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$